a #  b # c # a,thoan man a/(b-c)+b/(c-a)+c/(a-b)=0

<=> a(c-a)(a-b)+b(a-b)(b-c)+c(b-c)(c-a)=0

<=>-a(a-n)(a-c)-b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)(c-b)=0

<=>a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)=0               (*)

Tu (*)ta thay a,b,c doi xung nen ko giam tinh tong quat gia su :a>b>c

Nếu a,b,c đều ko âm ,giả thiết trên thành a>b>c>hoặc=0

(*)<=>(a-b)(a^2 - ac - b^2 +bc)+c(c-a)(c-b)=0

<=>(a-b)[(a+b)(a-b)- c(a-b)]+c(c -a)(c-b)=0

<=>(a-b)^2.(a+b-c)+c(a-c)(b-c)=0        (**)

Thấy b- c > 0 (do b > c)và a > 0 =>a+b-c > 0 =>(a-b)^2 . (a+b-c)>0 va c(a-c)(b-c)>hoac = 0

=>(a-b)^2.(a+b-c)+c(a-c)(b-c)>0 mâu thuẫn với (**)

Vay c < 0 (noi chung la trong a,b,c phai co so am )

Nếu cả a,b,c đều không có số dương do giả thiết trên ta có :0 > hoac = a > hoac = b>hoac = c

(*)<=>a(a-b)(a-c)+(b-c)(b^2-ab-c^2 + ca)=0

<=>a(a-b)(a-c)+(b-c)[(b+c)(b-c)-a(b-c)]=0

<=>a(a-b)(a-c)+(b-c)^2.(b+c-a)=0             (***)

a-b > 0 ;a- c > 0 => a(a-b)(a-c)< hoac = 0 (vi a < hoac = 0)

Và b<0 ; c -a < 0 => b+ c -a < 0=>(b-c)^2.(b+c-a)<0

=> a(a-b)(a-c)+(b-c)^2.(b+c-a)<0  mâu thuẫn với  (***)

Chứng tỏ trong a,b,c phải có số dương 

Tóm lại trong 3 số a,b,c phải có  số dương và âm .

Bài này mà không làm đc đốt sách đê 

ê cu vô cái link này nè http://olm.vn/hoi-dap/question/94896.html tui vừa chép xong 

ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

Ta có:\(a^2+b^2+c^2=2\)

        \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2ab-2ac-2bc=2\)

                   Mà a+b+c=2

                        \(\Rightarrow4-2ab-2ac-2bc=2\)

                         \(\Rightarrow2-2ab-2ac-2bc=0\)

                         \(\Rightarrow-2\left(ab+ac+bc\right)=-2\)

                         \(\Rightarrow ab+ac+bc=1\left(1\right)\)

Ta lại có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+ac+bc}{abc}\)

                      Từ (1) suy ra đc:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\left(đpcm\right)\)

theo bài ra ta có: a+b+c=2 => (a+b+c)^2 =4 => a^2 +b^2 +c^2 +2(ab+bc+ca)=4=> 2(ab+bc+ca)=2(vì a^2 +b^2 +c^2=2) 

=> ab+bc+ca=1   =>\(\frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}+\frac{ca}{abc}=\frac{1}{abc}\)        (vì abc khác 0)

                          => \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{abc}\)

Vậy với a+b+c=a^2+b^2+c^2=2 và abc khác  0 thì \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{abc}\)

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) = \(\overline{\frac{\overline{bc}+\overline{ac}+\overline{ac}}{\overline{abc}}}\) = ab + bc + ca 
=> a + b + c = ab + bc + ca 
=> a + b + c - ab - bc - ca = 0 
=> a + b + c - ab - bc - ac + abc - 1 = 0 
=> (a - ab) + (b - 1) + (c - bc) + (abc - ac) = 0 
=> - a(b - 1) + (b - 1) - c(b - 1) + ac(b - 1) = 0 
=> (b - 1)(- a + 1 - c + ac) = 0 
=> (b - 1)[( - a + 1) + (ac - c)] = 0 
=> (b - 1)[ - (a - 1) + c(a - 1)] = 0 
=> (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0 
=> a - 1 = 0 hoặc b - 1 = 0 hoặc c - 1 = 0 
=> a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1 

Vậy (a - 1)(b - 1)(c - 1) > 1

\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow abc-ac-bc+c-ab+a+b-1>0\)

\(\Leftrightarrow-ab-bc-ab+a+b+c>0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c>ab+ac+bc\)

\(\Leftrightarrow a+b+c>\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (thỏa mãn đề bài)

Vậy \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)